理论力学_动力学

动力学部分

动力学的研究对象是质点或质点系（物体，这里主要讨论刚体）的运动与作用力的关系。运动学描述运动本身，动力学建立运动与力的关系；在非惯性系中可引入惯性力，用静力学的平衡方法分析动力学问题（见达朗贝尔原理）。

  1. 动力学基本方程和定律：质点动力学的基本方程：动力学的基本定律；质点的运动微分方程
  2. 动量：动量和冲量；质点及质点系的动量定理；质点系的动量守恒定律
  3. 质心：质心；质心运动定理；质心运动守恒定律
  4. 动量矩、转动惯量：质点及质点系的动量矩；质点及质点系的动量矩定理；质点系的动量矩守恒定律；动量矩守恒定律的一个推论——面积速度定理；刚体绕定轴转动的微分方程；转动惯量；刚体对轴的转动惯量；质点系相对于质心的动量矩定理；刚体平面运动微分方程；
  5. 功、动能定理：力的功（重力、弹性力、定轴转动刚体上的力、任意运动刚体力系上的力、摩擦力、刚体内力做功为零、理想约束的约束力做功为零）；质点及质点系的动能；柯尼希定理；质点及质点系的动能定理（微分及积分形式）
  6. 功率：功率；功率方程；力场、势能（保守力做功）；机械能守恒定律；
  7. 使用静力学方法求解动力学问题：达朗贝尔原理（d’Alembert’s principle）
  8. 虚位移原理：

1 动力学基本定律

牛顿第一定律

惯性定律：在惯性参考系中，若质点所受合力为零，则质点保持静止或匀速直线运动。

牛顿第二定律

在惯性参考系中，质点所受合外力与运动状态的关系如下。当质量 mm 恒定时，力等于质量与加速度的乘积：

⭐动力学02-1：牛顿第二定律（质量恒定）

ma=Fm\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}

更一般地，合外力等于动量对时间的一阶导数（适用于变质量等情形）：

⭐动力学02-2：牛顿第二定律（一般形式）

ddt(mv)=F\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\boldsymbol{v})=\boldsymbol{F}

延伸：在保守系统中，广义力可写成势能 VV 对广义坐标的负偏导，即 Qi=−∂V/∂qiQ_i=-\partial V/\partial q_i；相对论中物质场的相互作用由爱因斯坦场方程描述，其意义不同于牛顿意义上的瞬时力。

牛顿第三定律

力是两个物体之间的相互作用：有作用力则必有等大、反向、共线的反作用力。设物体 1 对物体 2 的作用力为 F12\boldsymbol{F}_{12}，则

F12=−F21(2.1)\boldsymbol{F}_{12}=-\boldsymbol{F}_{21}\tag{2.1}

质点运动微分方程

由牛顿第二定律，有质点运动微分方程：

⭐动力学02-3：质点运动微分方程

md2rdt2=∑iFi(2.2)m\frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t^2}=\sum_i\boldsymbol{F}_i\tag{2.2}

其中 ∑iFi\sum_i\boldsymbol{F}_i 为作用在质点上的合外力。作为常微分方程，它建立了位置 r\boldsymbol{r} 对时间 tt 的各阶导数之间的代数关系。若方程对 r\boldsymbol{r} 及其各阶导数线性，且右端对 r\boldsymbol{r}、r˙\dot{\boldsymbol{r}} 亦为线性函数，则方程为线性 ODE，往往可求解析解；否则一般为非线性，大多难以求得解析解。

2 动量定理

动量 p=mv\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}，冲量 I=∫t1t2F dt\boldsymbol{I}=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}t。

质点

⭐动力学02-4：质点的动量定理（微分形式）

d(mv)=F dt=dI(2.3)\mathrm{d}(m\boldsymbol{v})=\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}\boldsymbol{I}\tag{2.3}

其中 F\boldsymbol{F} 为合外力。对时间积分，得积分形式：

mv2−mv1=∫t1t2F dt=I(2.4)m\boldsymbol{v}_2-m\boldsymbol{v}_1=\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}\,\mathrm{d}t=\boldsymbol{I}\tag{2.4}

质点系

质心

注：刚体运动可视为质点系的运动，一般可分解为质心的平动与绕质心的转动之和。